这样，在有了基本音“宫”之后，经过两次“三分损一”和两次“三分益一”，宫、商、角、徵、羽五个音阶就生成了。

宫生徵，徵生商，商生羽，羽生角，由于是““五五相生”，因此，乐律家们说起五个音阶来，他们不说“宫、商、角、徵、羽”，而是说成“宫、徵、商、羽、角”。

《管子》记载中，管仲实际只相生出了宫、商、角、徵、羽五个音。

《吕氏春秋》在管仲五音的基础上又继续相生了十一次，使十二律的相生得到完成——得到了黄钟，林钟，太簇，南吕，姑冼，应钟，蕤宾，大吕，夷则，夹钟，无射，仲吕。

对这十二律再加以区分，分出了六个阳律和六个阴律，六个阳律称为“律”，六个阴律称为“吕”。

这就是《千字文》里“律吕调阳”这说法的由来。

音程之所以重要，是因为两根同质琴弦的长度比，等于它们所发出声音频率的反比。如果知道了这些长度之间的准确比例，就能制定出最佳的音律标准。

遗憾的是，三分损益法有个问题——当相生到第十一次，即到十二律后的“清黄钟”的时候，“清黄钟”不能回到原出发律上，这就导致使十二律不能周而复始，无法实现完美的循环和转调。

因为十二和月令有关，因此中国古代研究这个问题的人，一般都是数学家，天文学家，对历法有深刻研究的人，然后才是研究这个音乐问题。

一波波的天才们研究了千年，中间也出过不少的高人，直到明代，万历年间的音乐家王爷明太祖九世孙，郑藩第六代世子，有“律圣”之称的朱载堉，研究出“新法密率”，完美地准确推算出匀律音阶的音程，可以取为二的十二次方根——即指导现代音乐的十二平均律。

到十六世纪末，传教士利玛窦将十二平均律法从中国带回西方，直到十七世纪才开始在欧洲大陆广泛流传。

而中国文明从那时起开始进入衰落期，使得中国古典音乐的理论水平与西方音乐的差距越来越大。

而西方得到了十二平均律这一黄金律法，新的和声理论、自然调式和各种相关调性也就随之产生了，接着发展出新的演奏和作曲技法，以及更复杂的和声技巧，对位法技巧等等，当然还有最重要的东西五线谱——最后完善出现代乐理。

十二平均律很好记：频率比为一比二的两个单音，即长度比为二比一的两根丝弦之间的音程，被定义为一个“纯八度”，这一个纯八度按照十二平均律分成十二段——就可以构造出十三个单音，一个完美的循环。

作为一位对古代冷知识了解颇深的工科狗，苏油常常用这个例子来教育大学寝室里吉他社团的同学们，当然招来的无一例外都是白眼——你是来搞笑的吗？来来来吉他给你，来一曲听听？

不管怎么说，到了现在，剩下的就是有趣的数学问题了，苏油所知的办法，就是将无理数变为连分数，然后通过截断值计算出二的十二次方根的近似数值。

精确到了小数点后六位。

这个方法，苏油严重怀疑中国数学家，天文学家祖冲之早已知道。因为他将以前历法家的回归年和朔望月之间的比值，从十九年七闰提升到了三百九十一年一百四十四闰——这两个比值，与连分数的不同截断值完全巧合。